一方的で無限の派生例。 §3

定義1. この関数はある時点で次のように言われています バツ 0 無限導関数の場合

.

同時に彼らはこう書きます
または
.

例1.
,
:

Ⅱ 片側導関数

定義2. 右
そして、左
派生関数
時点で バツ 0 は次の等式によって決定されます。

そして
.

極限に関する一般定理から、次の定理が得られます。

定理1. 関数
要点にある バツこの時点で等しい片側導関数がある場合に限り、導関数は 0 になります。

例2。 機能について
ゼロにおける左右の導関数を求めます。

なぜなら
、 それ
存在しない。

次の定理により、場合によっては片側導関数の計算を簡素化することができます。

定理2. 機能させましょう
範囲内にあります
最終導関数
、そして存在します（有限かどうか）
。 それからその時点で バツ 0 右導関数があり、
.

同様のステートメントが左導関数にも当てはまります。

§2 で関数の導関数が計算されました。
のために
:
。 例 1 の結果 (
) 定理 2 を使用すると、次のことが即座に得られます。

同様に判明します
。 片側微分が一致するということは、次のことを意味します。
.

コメント。 関数の場合
互いに等しくない有限微分があります
そして
の場合、関数のグラフの点で右接線と左接線が一致しません。
。 グラフ上のこの点はコーナーポイントと呼ばれます。 導関数 (少なくとも片側) が +または
、これはグラフに垂直接線があることを意味します。

§4. 関数の微分可能性

意味。 彼らは機能と言います
点で微分可能 バツその増分が次のように表現できる場合は 0

どこ あ– から独立した何らかの数値
.

定理1. 機能のために
、その時点で微分可能でした バツ 0 の場合、この時点で有限微分が得られれば必要かつ十分です。

証拠。 必要性。させて
微分可能。 等式 (1) の両辺を次の値で割ってみましょう。
:

.

限界まで行く
、 我々が得る

それらの。 時点で バツ 0 導関数があり、それは等しい あ:
.

適切性。 有限導関数があるとしましょう
.

それから
したがって

この関係では、等式 (1) が容易にわかります。 定理は証明されました。

したがって、1 変数の関数については、微分可能性と有限導関数の存在は同等の概念です。

は微小増分の公式と呼ばれます。

微分可能性と連続性の概念の間には関連性があり、次の定理によって確立されます。

定理2. 関数の場合
点で微分可能 バツ 0 の場合、この時点では連続です。

実際、式 (1) から次のことがわかります。
、これは継続性の定義の 1 つです。

当然、定理 2 の逆が正しいかどうかという疑問が生じます。 「連続関数は微分可能です。」 この質問には否定的に答える必要があります。ある点では連続であるが、その点では微分不可能な関数があります。 例は、例 2 §3 の関数です。
。 ゼロでは連続ですが、
存在しない。

このような関数の別の例を挙げてみましょう。

例1.

この関数は非基本的なブレークポイントの可能性があります
(この時点で、ある基本式が別の基本式に変わります)。 しかし

,

したがって、
ある点で連続する
。 ゼロにおける関数の導関数を求めてみましょう (当然のことです!):

.

しかし、サインの引数が  になる傾向がある場合、サインには制限がないことがすでにわかっています。 それで、
存在しません、つまり
ゼロでは微分不可能。

数学者は、特定の区間で連続であるが、この区間のどの点でも導関数をもたない関数の例を構築していることに注意してください。

定義1. この関数はある時点で次のように言われています バツ 0 無限導関数の場合

.

同時に彼らはこう書きます
または
.

例1.
,
:

Ⅱ 片側導関数

定義2. 右
そして、左
派生関数
時点で バツ 0 は次の等式によって決定されます。

そして
.

極限に関する一般定理から、次の定理が得られます。

定理1. 関数
要点にある バツこの時点で等しい片側導関数がある場合に限り、導関数は 0 になります。

例2。 機能について
ゼロにおける左右の導関数を求めます。

なぜなら
、 それ
存在しない。

次の定理により、場合によっては片側導関数の計算を簡素化することができます。

定理2. 機能させましょう
範囲内にあります
最終導関数
、そして存在します（有限かどうか）
。 それからその時点で バツ 0 右導関数があり、
.

同様のステートメントが左導関数にも当てはまります。

§2 で関数の導関数が計算されました。
のために
:
。 例 1 の結果 (
) 定理 2 を使用すると、次のことが即座に得られます。

同様に判明します
。 片側微分が一致するということは、次のことを意味します。
.

コメント。 関数の場合
互いに等しくない有限微分があります
そして
の場合、関数のグラフの点で右接線と左接線が一致しません。
。 グラフ上のこの点はコーナーポイントと呼ばれます。 導関数 (少なくとも片側) が +または
、これはグラフに垂直接線があることを意味します。

§4. 関数の微分可能性

意味。 彼らは機能と言います
点で微分可能 バツその増分が次のように表現できる場合は 0

どこ あ– から独立した何らかの数値
.

定理1. 機能のために
、その時点で微分可能でした バツ 0 の場合、この時点で有限微分が得られれば必要かつ十分です。

証拠。 必要性。させて
微分可能。 等式 (1) の両辺を次の値で割ってみましょう。
:

.

限界まで行く
、 我々が得る

それらの。 時点で バツ 0 導関数があり、それは等しい あ:
.

適切性。 有限導関数があるとしましょう
.

それから
したがって

この関係では、等式 (1) が容易にわかります。 定理は証明されました。

したがって、1 変数の関数については、微分可能性と有限導関数の存在は同等の概念です。

は微小増分の公式と呼ばれます。

微分可能性と連続性の概念の間には関連性があり、次の定理によって確立されます。

定理2. 関数の場合
点で微分可能 バツ 0 の場合、この時点では連続です。

実際、式 (1) から次のことがわかります。
、これは継続性の定義の 1 つです。

当然、定理 2 の逆が正しいかどうかという疑問が生じます。 「連続関数は微分可能です。」 この質問には否定的に答える必要があります。ある点では連続であるが、その点では微分不可能な関数があります。 例は、例 2 §3 の関数です。
。 ゼロでは連続ですが、
存在しない。

このような関数の別の例を挙げてみましょう。

例1.

この関数は非基本的なブレークポイントの可能性があります
(この時点で、ある基本式が別の基本式に変わります)。 しかし

,

したがって、
ある点で連続する
。 ゼロにおける関数の導関数を求めてみましょう (当然のことです!):

.

しかし、サインの引数が  になる傾向がある場合、サインには制限がないことがすでにわかっています。 それで、
存在しません、つまり
ゼロでは微分不可能。

数学者は、特定の区間で連続であるが、この区間のどの点でも導関数をもたない関数の例を構築していることに注意してください。

関数 f (x) = y を点 x 0 の近傍で定義するとします。

定義8.1。 点 x 0 における関数 f の導関数は、引数 Δx の増分に対するこの点での関数の増分比の制限に等しい数で表されます (この制限が存在する場合、Δx はゼロに向かう傾向があるため) :

または、 を表す場合、 と については

定義 8.2. 点 x 0 で有限導関数を持つ関数は、その点で微分可能であると言われます。

定義8.3. 点 0 で関数 f (x) が連続で、極限 (8.1) が無限大 (+∞ または −∞) に等しい場合、無限導関数と呼ばれます。

定義8.4。 限界

はそれぞれ右手導関数、左手導関数と呼ばれます。

導関数が存在するには、両方の片側導関数が存在し、それらが互いに等しいことが必要かつ十分です。

導関数は別の方法で表されます。たとえば、次のようになります。

導関数の幾何学的意味。 平面曲線の接線方程式と法線方程式。 曲線間の角度。

曲線 f (x) y 上で 2 つの異なる点 M 0 と M 1 (図 8.1) を選択し、それらを通して 1 本の直線 l を描きます。これはグラフのセカントと呼ばれます。 指定された 2 点を通過し、次の形式を持つ直線の方程式を使用します。 、正割の方程式が得られます。

式 (8.4) を角度係数を持つ直線の方程式と比較すると、セカント l の角度係数 k は次の形式を持つと結論付けられます。

それから そしてセカント方程式 (8.4) はタンジェント方程式に変わります。

したがって、点 x = x 0 で計算された関数 f (x) = y の導関数は、その点で関数 f (x) = y のグラフに描かれた接線の傾きになります。

これが導関数の幾何学的意味です。

定義8.6. 点 M 0 における接線に垂直な直線は、点 M 0 における曲線 f (x) = y の法線と呼ばれます。

線の垂直度の条件 k 1 k 2 =− 1 から、法線の角度係数 k n は次の式に従って接線の角度係数 k を通じて表されると結論付けます。 したがって、点 M 0 における曲線 f (x) = y の法線の方程式は次の形式になります。

定義8.7。 2 つの曲線 f (x) = y と g (x) = y が点で交差するとします。 指定された曲線間の角度 α は、曲線の交点で描かれた曲線の接線間の角度です。

ドクター: x=サイニー

Y/= 1_ = 1____ =1________

x / y コージー cos(arcsinx)

= 1___________ = 1___

√1-sin 2 *arccosx √1-x 2

38. 逆関数の導関数。 (証拠付き)

関数 y=f(x) (1) が集合 x (大) で指定され、y がその可能な値の集合であるとします。その場合、各 x€ X には単一の値 y€Y が割り当てられます。 、各 y€Y は 1 つまたは複数の値 x€ X に対応します。各 y€Y が 1 つの値 x€ X にのみ対応し、集合 Y の f(x)=y である場合、次のことができます。関数 x=g(y) を定義します (2) その値のセットが x になります。 関数 (2) は、1 番目の逆関数と呼ばれます。 関数 (1) と関数 (2) は相互に逆関数です。

逆関数 x = (y) を示します。

T.1: 関数 y=f(x) が区間 で厳密に単調かつ連続的に定義される場合、逆関数 x= (y) は区間 [A,B] で厳密に単調かつ連続的に定義されます。ここで、A= f(a)、B = f(b)。 厳密な単調性: 任意の点に対して、€ x< ( >) 不等式 f() が満たされる f(, ))

T.2: 関数 y= f(x) が逆関数の存在に関する定理の条件を満たし、その点で有限導関数 f'()≠0 があるとすると、関数 x=g(y)この点では、 に等しい有限導関数もあります。

証明: 増分 y≠0 を与えると、関数 x=g(y) は増分 x≠0 を受け取ります。 明らかに = 。

意味 . 楕円の形状は、焦点距離と長軸の比であり、と呼ばれる特性によって決まります。 偏心。 e = c/a。なぜなら と< a, то е < 1.

楕円は と呼ばれる 2 本の直線に接続されています。 校長たち。それらの方程式は次のとおりです。 x = a/e; x = -a/e。