Чему равна сумма углов. Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника - важная, но достаточно простая тема, которую проходят в 7 классе на геометрии. Тема состоит из теоремы, короткого доказательства и нескольких логичных следствий. Знание этой темы помогает в решении геометрических задач при последующем изучении предмета.

Теорема - чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит - если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:

• для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
• между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
• угол 1 признают равным углу А, а угол 2 - равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
• таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В - и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.

Что следует из геометрической теоремы

Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.

• Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
• Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
• Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
• Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.

Можно вывести следующее правило - в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.

(опорный конспект)

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же - 180°. «Как же это доказать? - подумал Паскаль. - Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников - их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

ТЕОРЕМА . Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника . В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой . Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника . Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а < b + с , b < а + с , с < а + b . Следствие . Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По двум катетам . Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По катету и прилежащему острому углу . Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

По катету и противолежащему острому углу . Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и острому углу . Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство этих признаков сразу сводится к одному из признаков равенства треугольников.

По катету и гипотенузе . Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Приложим треугольники равными катетами. Получим равнобедренный треугольник. Его высота, проведенная из вершины, будет и медианой. Тогда у треугольников равны и вторые катеты, и треугольники равны по трем сторонам.

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30° . Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла . Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми . ТЕОРЕМА . Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение . Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе . Выберите дальнейшие действия:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ:

«Всегда ли сумма углов треугольника равна 180˚?»

Выполнил:

Ученик 7б класса

МБОУ Инзенская СШ №2

г. Инза, Ульяновская область

Малышев Ян

Научный руководитель:

Большакова Людмила Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………..3 стр.

Основная часть……………………………………………4

поиск информации

опыты

вывод

Заключение………………………………………………..12

ВВЕДЕНИЕ

В этом году я начал изучать новый предмет-геометрию. Эта наука изучает свойства геометрических фигур. На одном из уроков мы изучали теорему о сумме углов треугольника. И с помощью доказательства сделали вывод: сумма углов треугольника равна 180˚.

Я задумался, а есть ли такие треугольники, у которых сумма углов не будет равна 180˚?

Тогда я поставил перед собой ЦЕЛЬ :

Узнать, когда сумма углов треугольника не равна 180˚?

Поставил следующие ЗАДАЧИ :

Познакомиться с историей возникновения геометрии;

Познакомиться с геометрией Евклида, Романа, Лобачевского;

Доказать опытным путем, что сумма углов треугольника может быть не равна 180˚.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо уметь рассчитывать, сколько материала уйдет на постройку, вычислять расстояния между точками в пространстве и углы между плоскостями. Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве.

Для развития геометрии много сделали ученые Древней Греции. Первые доказательства геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского.

Одной из самых известных школ была пифагорейская, названная в честь своего основателя, автора доказательств многих теорем, Пифагора.

Геометрию, которую изучают в школе, называют Евклидовой, по имени Евклида - древнегреческого ученого.

Евклид жил в Александрии. Он написал знаменитую книгу «Начала». Последовательность и строгость сделали это произведение источником геометрических знаний во многих странах мира в течении более двух тысячелетий. До недавнего времени почти все школьные учебники были во многом схожи с «Началами».

Но в 19 веке было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах. Основные открытия геометрической системы, в которой аксиомы Евклида не верны, были сделаны Георгом Риманом и Николаем Лобачевским. О них говорят как о создателях неевклидовой геометрии.

И вот, опираясь на учения Евклида, Римана и Лобачевского, попробуем ответить на вопрос: всегда ли сумма углов треугольника равна 180˚?

ОПЫТЫ

Рассмотрим треугольник с точки зрения геометрии Евклида.

Для этого возьмём треугольник.

Закрасим его углы красным, зеленым и синим цветами.

Проведем прямую линию. Это развернутый угол, он равен 180 ˚.

Отрежем углы нашего треугольника и приложим их к развернутому углу. Мы видим, что сумма трех углов равна 180˚.

Одним из этапов развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Частным случаем этой эллиптической геометрии является геометрия на сфере. В геометрии Римана сумма углов треугольника больше 180˚.

Итак, это сфера.

Внутри этой сферы меридианами и экватором образуется треугольник. Возьмем этот треугольник, закрасим его углы.

Отрежем их и приложим к прямой. Мы видим, что сумма трех углов больше 180˚.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180˚.

Эта геометрия рассматривается на поверхности гиперболического параболоида (это вогнутая поверхность, напоминающая седло).

Примеры параболоидов можно встретить в архитектуре.

И даже чипсы «прингл»-пример параболоида.

Проверим сумму углов на модели гиперболического параболоида.

На поверхности образуется треугольник.

Возьмем этот треугольник, закрасим его углы, отрежем их и приложим к прямой. Теперь мы видим, что сумма трех углов меньше 180˚.

ВЫВОД

Таким образом, мы доказали, что сумма углов треугольника не всегда равна 180˚.

Она может быть и больше, и меньше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение своей работы хочу сказать, что работать над этой темой было интересно. Я узнал много нового для себя и, в дальнейшем, буду с удовольствием изучать эту интересную геометрию.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

ru.wikipedia.org

e-osnova.ru

vestishki.ru

yun.moluch.ru

Вдогонку ко вчерашнему:

Играем с мозаикой под сказку по геометрии:

Жили-были треугольники. Такие похожие, что просто копия друг друга.
Стали они как-то рядышком на прямую линию. А так как были они все одного роста -
то и верхушки их были на одном уровне, под линеечку:

Треугольники любили кувыркаться и стоять на голове. Взобрались в верхний ряд и стали на уголок, как акробаты.
А мы уже знаем - когда они стоят верхушками ровно в линию,
то и подошвы у них тоже по линеечке - потому что если кто одного роста, то он и верх ногами одного роста!

Во всем они были одинаковые - и высота одинаковая, и подошвы один в один,
и горки по сторонам - одна круче, другая более пологая - по длине одинаковые
и наклон у них одинаковый. Ну просто близнецы! (только в разных одежках, у каждого свой кусочек пазла) .

- Где у треугольников одинаковые стороны? А где уголки одинаковые?

Постояли треугольники на голове, постояли, да и решили соскользнуть и улечься в нижнем ряду.
Заскользили и съехали как с горки; а горки-то у них одинаковые!
Вот и поместились аккурат между нижними треугольниками, без зазоров и никто никого не потеснил.

Огляделись треугольники и заметили интересную особенность.
Везде, где их углы вместе сошлись - непременно встретились все три угла:
самый большой - "угол-голова", самый острый угол и третий, средний по величине угол.
Они даже ленточки цветные повязали, что б сразу было заметно, где какой.

И получилось, что три угла треугольника, если их совместить -
составляют один большой угол, "угол нараспашку" - как обложка раскрытой книги,

______________________о ___________________

он так и называется: развернутый угол.

У любого треугольника - будто паспорт: три угла вместе равны развернутому углу.
Постучится к вам кто-нибудь: - тук-тук, я треугольник, пустите меня переночевать!
А вы ему - Предъяви-ка сумму углов в развернутом виде!
И сразу понятно - настоящий ли это треугольник или самозванец.
Не прошел проверку - Разворачивайся на сто восемьдесят градусов и ступай восвояси!

Когда говорят "повернуть на 180° - это значит развернуться задом наперед и
идти в обратном направлении.

То же самое в более привычных выражениях, без "жили были":

Совершим параллельный перенос треугольника АВС вдоль оси ОХ
на вектор АВ равный длине основания АВ.
Прямая, DF проходящая через вершины С и С 1 треугольников
параллельна оси ОХ, в силу того, что перпендикулярные оси ОХ
отрезки h и h 1 (высоты равных треугольников) равны.
Таким образом основание треугольника А 2 В 2 С 2 параллельно основанию АВ
и равно ему по длине (т.к. вершина С 1 смещена относительно С на величину АВ).
Треугольники А 2 В 2 С 2 и АВС равны по трем сторонам.
А стало быть углы ∠А 1 ∠В ∠С 2 , образующие развернутый угол, равны углам треугольника АВС.
=> Сумма углов треугольника равна 180°

С движениями - "трансляциями" так называемыми доказательство короче и наглядней,
на кусочках мозаики даже малышу может быть понятно.

Зато традиционное школьное:

опирающееся на равенство внутренних накрест-лежащих углов, отсекаемых на параллельных прямых

ценно тем, что дает представление о том - почему это так,
почему сумма углов треугольника равна развернутому углу?

Потому что иначе параллельные прямые не обладали бы привычными нашему миру свойствами.

Теоремы работают в обе стороны. Из аксиомы о параллельных прямых следует
равенство накрест лежащих и вертикальных углов, а из них - сумма углов треугольника.

Но верно и обратное: пока углы треугольника составляют 180° - существуют параллельные прямые
(такие, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую || данной).
Если однажды в мире появится треугольник, у которого сумма углов не равна развернутому углу -
то параллельные перестанут быть параллельны, весь мир искривится и перекособочится.

Если полосы с орнаментом из треугольников расположить друг над другом -
можно покрыть все поле повторяющимся узором, будто пол плиткой:

можно обводить на такой сетке разные фигуры - шестиугольники, ромбы,
звездные многоугольники и получать самые разные паркеты

Замощение плоскости паркетами - не только занятная игра, но и актуальная математическая задача:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Поскольку каждый четырехугольник - прямоугольник, квадрат, ромб и проч.,
может быть составлен из двух треугольников,
соответственно сумма углов четырехугольника: 180° + 180°= 360°

Одинаковые равнобедренные треугольники складываются в квадраты разными способами.
Маленький квадратик из 2-х частей. Средний из 4-х. И самый большой из 8-ми.
Сколько на чертеже фигур, состоящих из 6-ти треугольников?

>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.

Цели урока:

• Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
• Доказательство свойства углов треугольника;
• Применение этого свойства при решении простейших задач;
• Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
• Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.

Задачи урока:

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Треугольник;
2. Теорема о сумме углов треугольника;
3. Пример задач.

Треугольник.

Файл:O.gif Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция .
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия .

Теорема о сумме углов треугольника.

Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство":

Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.

Следствия.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.

Следствия.

Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

Задача.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
(Рис.1)

Решение:

Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С

Интересный факт:

Сумма углов треугольника":

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.

Из истории математики:

Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».

Вопросы:

1. Что такое треугольник?
2. Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
3. Чему равен внешний угол треугольника?