Односторонние и бесконечные производные примеры. §3

Определение 1. Говорят, что функцияимеет в точкеx 0 бесконечную производную, если

.

При этом пишут
или
.

Пример 1.
,
:

II Односторонние производные

Определение 2. Правая
и левая
производные функции
в точкеx 0 , определяются равенствами:

и
.

Из общих теорем о пределах можно получить такую теорему.

Теорема 1. Функция
имеет в точкеx 0 производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные.

Пример 2. Для функции
найти правую и левую производную в нуле.

Так как
, то
не существует.

Следующая теорема позволяет в некоторых случаях упростить вычисление односторонних производных.

Теорема 2. Пусть функция
имеет в интервале
конечную производную
, причем, существует (конечный или нет)
. Тогда в точкеx 0 существует правая производная и
.

Аналогичное утверждение имеет место и для левой производной.

В §2была вычислена производная функции
для
:
. Результат примера 1 (
) с помощью теоремы 2 получается моментально:

Аналогично получается и
. Совпадение односторонних производных означает, что и
.

Замечание. Если у функции
существуют конечные, не равные друг другу производные
и
, то у графика функции имеются не совпадающие правая и левая касательные в точке
. Такая точка графика называется угловой. Если же производная (хотя бы односторонняя) равна+или
, то это означает, что у графика имеется вертикальная касательная.

§4. Дифференцируемость функции

Определение. Говорят, что функция
дифференцируема в точке x 0 , если ее приращениеможно представить в виде

где A – некоторое число, не зависящее от
.

Теорема 1. Для того, чтобы функция
, была дифференцируемой в точкеx 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть
дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на
:

.

Переходя к пределу при
, получим

т.е. в точке x 0 существует производная и она равнаA :
.

Достаточность . Пусть существует конечная производная
.

Тогда
и, следовательно,

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция
дифференцируема в точкеx 0 , то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что
, а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3:
. Она непрерывна в нуле, но
не существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1.

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва
(в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

,

следовательно,
непрерывна в точке
. Найдем производную функции в нуле (по определению!):

.

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в , синус предела не имеет. Итак,
не существует, т.е.
недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

Определение 1. Говорят, что функцияимеет в точкеx 0 бесконечную производную, если

.

При этом пишут
или
.

Пример 1.
,
:

II Односторонние производные

Определение 2. Правая
и левая
производные функции
в точкеx 0 , определяются равенствами:

и
.

Из общих теорем о пределах можно получить такую теорему.

Теорема 1. Функция
имеет в точкеx 0 производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные.

Пример 2. Для функции
найти правую и левую производную в нуле.

Так как
, то
не существует.

Следующая теорема позволяет в некоторых случаях упростить вычисление односторонних производных.

Теорема 2. Пусть функция
имеет в интервале
конечную производную
, причем, существует (конечный или нет)
. Тогда в точкеx 0 существует правая производная и
.

Аналогичное утверждение имеет место и для левой производной.

В §2была вычислена производная функции
для
:
. Результат примера 1 (
) с помощью теоремы 2 получается моментально:

Аналогично получается и
. Совпадение односторонних производных означает, что и
.

Замечание. Если у функции
существуют конечные, не равные друг другу производные
и
, то у графика функции имеются не совпадающие правая и левая касательные в точке
. Такая точка графика называется угловой. Если же производная (хотя бы односторонняя) равна+или
, то это означает, что у графика имеется вертикальная касательная.

§4. Дифференцируемость функции

Определение. Говорят, что функция
дифференцируема в точке x 0 , если ее приращениеможно представить в виде

где A – некоторое число, не зависящее от
.

Теорема 1. Для того, чтобы функция
, была дифференцируемой в точкеx 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть
дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на
:

.

Переходя к пределу при
, получим

т.е. в точке x 0 существует производная и она равнаA :
.

Достаточность . Пусть существует конечная производная
.

Тогда
и, следовательно,

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция
дифференцируема в точкеx 0 , то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что
, а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3:
. Она непрерывна в нуле, но
не существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1.

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва
(в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

,

следовательно,
непрерывна в точке
. Найдем производную функции в нуле (по определению!):

.

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в , синус предела не имеет. Итак,
не существует, т.е.
недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

Пусть функция f (x) = y определена в некоторой окрестности точки x 0 .

Определение 8.1. Производной функции f в точке x 0 называется число, обозначаемое , равное пределу отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ∆x при стремлении ∆x к нулю, если этот предел существует:

или, если обозначить , то при и

Определение 8.2. Функция, имеющая конечную производную в точке х 0 , называется дифференцируемой в этой точке.

Определение 8.3. Если в точкех 0 функция f (x) непрерывна, а предел (8.1) равен бесконечности (+∞ или −∞) , то говорят о бесконечной производной.

Определение 8.4. Пределы

называются правосторонней и левосторонней производной, соответственно.

Для существования производной необходимо и достаточно, чтобы существовали обе односторонние производные и и они были равны друг другу:

Производная обозначается и другими способами, например:

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.

На кривой f (x) y выберем две различные точки М 0 и М 1 (рис.8.1) и через них проведем единственную прямую l , которая называется секущей к графику. Используя уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и которое имеет вид , получим уравнение секущей

Сравнивая уравнение (8.4) с уравнением прямой с угловым ко-эффициентом, заключаем, что угловой коэффициент k секущей l имеет вид

Тогда и уравнение секущей (8.4) перейдет в уравнение касательной:

Таким образом, производная функции f (x) = y, вычисленная в точке х= х 0 есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f (x) =y в точке

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Определение 8.6. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке М 0 называется нормалью к кривой f (x) =y в точке М 0 .

Из условия k 1 k 2 =− 1 перпендикулярности прямых заключаем, что угловой коэффициент k н нормали выражается через угловой коэффициент k кас касательной по формуле Следовательно, уравнение нормали к кривой f (x) =y в точке М 0 имеет вид

Определение 8.7. Пусть две кривые f (x) =y и g (x) = y пересекаются в точке т.е. Углом α между заданными кривыми называется угол между касательными к кривым, проведенным в точке их пересечения:

Док-во: x=siny

Y / =1_ = 1____ =1________

x / y cosy cos(arcsinx)

= 1___________ = 1___

√1-sin 2 *arccosx √1-x 2

38. Производная обратной функции. (с доказательством)

Пусть функция y=f(x) (1), задана на множестве х (большая), а у – множество её возможных значений тогда каждому х€ Х ставится в соответствие единственное значение у€У с другой стороны каждому у€У будет соответствовать одно или несколько значений х€ Х. В случае, когда каждому у€У соответствует только одно значение х€ Х, для которого f(x)=у на множестве У можно определить функцию х=g(y) (2) множеством значений которого является множество х. Функцию (2) называют обратной по отношению к 1-ой. Функции (1) и (2) – взаимообратные функции.

Обозначают обратную функцию х= (y).

T.1: Если функция y=f(x) определена строго монотонно и непрерывна на отрезке , то обратная функция х= (y) определена строго монотонно и непрерывно на отрезке [А,В], где А= f(а), В= f(b). Строгая монотонность: для любых точек , € х < ( > ) выполняется неравенство f()f(, ))

Т.2: Пусть функция у= f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и в точке имеет конечную производную f’()≠0, тогда функция х=g(y) точке так же имеет конечную производную равную .

Доказательство: Придадим приращение у≠0, тогда функция х=g(y) получит приращение х≠0. Очевидно, что = .

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.