測地学と地形学で使用される座標系。 直交座標系座標系傾斜
4.1。 長方形の座標
地形では、長方形の座標が最も広く使用されています。 平面上で2本の相互に垂直な線を取ります- Oバツと OY。 これらの線は座標軸と呼ばれ、それらの交点（ O）は座標の原点です。
米。 4.1。 長方形の座標
平面上の任意の点の位置は、座標軸から特定の点までの最短距離を指定することで簡単に決定できます。 最短距離は垂線です。 座標軸から特定の点までの垂線に沿った距離は、この点の長方形座標と呼ばれます。
軸に平行な線分 バツ、は座標と呼ばれます バツA
、および平行軸 Y-座標 でA
.
直交座標系の4分の1には番号が付けられています。 それらのカウントは、x軸の正の方向（I、II、III、IV）から時計回りに進みます（図4.1）。
上記の長方形の座標は、平面上で使用されます。 したがって、彼らは名前を得ました 平らな長方形の座標。
この座標系は、平面として、地形の小さな領域で使用されます。
4.2。 ゾーンガウス直交座標系
「地形図の投影」の問題を考えると、地球の表面は、軸子午線に沿って地球の表面に接する円柱の表面に投影されていることがわかりました。 この場合、地球の表面全体が円柱に投影されるのではなく、その一部のみが円柱に投影されます。これは、軸経線の西経3度、東経3度によって制限されます。 ガウス投影のそれぞれは、経度6°までの子午線によって制限された地球の表面の断片のみを平面に送信するため、合計60の投影（60ゾーン）を地球の表面に作成する必要があります。 60の予測のそれぞれで、 長方形座標の個別のシステム。
各ゾーンで、軸 バツはゾーンの中央（軸）子午線であり、実際の位置から西に500 kmに位置し、軸は Y-赤道（図4.2）。
米。 4.2。 直交座標系
地形図上
拡張された軸子午線と赤道の交点が座標の原点になります。 x = 0、y = 0。 赤道と実際の軸子午線の交点には、座標があります ：x = 0、y = 500km。
各ゾーンには独自の原点があります。 ゾーンは、グリニッジ子午線から東に数えられます。 最初の6度のゾーンは、グリニッジ子午線と東経6度（軸子午線3度）の子午線の間にあります。 2番目のゾーンは6ºEです。 -12ºE（軸子午線9º）。 3番目のゾーン-12ºE -18ºE （軸子午線15º）。 4番目のゾーン-18ºE -24ºE （軸子午線21º）など。
ゾーン番号は座標で示されます で最初の桁。 たとえば、エントリ で = 4 525 340
指定されたポイントが4番目のゾーン（最初の桁）にある距離にあることを意味します 525 340 m 500kmの西に位置するゾーンの軸子午線から。
地理座標でゾーン番号を決定するには、経度に整数度で表される6を加算し、その結果の量を6で除算する必要があります。除算の結果、整数のみが残ります。
例。 東経18º10 "のポイントのガウスゾーンの数を決定します。
解決。 経度18の整数に、6を加算し、合計を6で除算します。
(18 + 6) / 6 = 4.
私たちの地図は4番目のゾーンにあります。
ゾーン座標系の使用は、2つの隣接する（隣接する）ゾーンにある境界領域で地形および測地作業が実行されるときに発生します。 このようなゾーンの座標線は、互いに角度を付けて配置されています（図4.3）。
発生する合併症を排除するために、 ゾーンオーバーラップバンド
、点の座標は2つの隣接するシステムで計算できます。 オーバーラップ幅4°、各ゾーンで2°。
マップ上の追加のグリッドは、分フレームと外フレームの間の線の出口の形でのみ適用されます。 そのデジタル化は、隣接するゾーンのグリッド線のデジタル化の続きです。 追加のグリッド線は、シートの外枠の外側に署名されています。 したがって、東部ゾーンにあるマップシート上で、同名の追加グリッドの出力を接続すると、西部ゾーンのキロメートルグリッドが得られます。 このグリッドを使用して、たとえば、点の長方形の座標を決定できます V西部ゾーンの長方形座標のシステム、つまりポイントの長方形座標 Aと V西部ゾーンと同じ座標系で取得されます。
米。 4.3。 ゾーンの境界に追加のキロメートル線
縮尺1：10,000の地図では、内側のフレーム（台形フレーム）の東または西の子午線がゾーンの境界であるシートでのみ、追加のグリッドが分割されます。 地形図では、追加のグリッドは適用されません。
4.3。 コンパス測定器の助けを借りた長方形の座標の決定
地形図（計画）の重要な要素は、長方形のグリッドです。 この6度のゾーンのすべてのシートに、グリッドは線の行の形で適用されます。 中央子午線と赤道に平行（図4.2）。 グリッドの垂直線はゾーンの軸子午線に平行であり、水平線は赤道に平行です。 水平方向のキロメートル線は下から上に数えられ、垂直方向の線は左から右に数えられます
.
縮尺1：200,000〜1：50,000の地図上の線の間隔は、2 cm、1：25,000〜4 cm、1：10,000〜10 cmであり、これは地上の整数キロメートルに相当します。 したがって、長方形グリッドは キロメートル、およびその行は キロメートル.
マップシートのフレームの隅に最も近いキロメートルの線は、完全なキロメートル数で署名され、残りは最後の2桁で署名されます。 碑文 60
水平線の1つにある65（図4.4を参照）は、この線が赤道から6065 km離れていることを意味します（北）：碑文 43
垂直線の07は、それが4番目のゾーンにあり、東の縦座標の計算の開始から307km離れていることを意味します。 縦のキロメートル線の近くに3桁の数字が小さい数字で書かれている場合、最初の2つはゾーン番号を示します.
例。地図上の点、たとえば214.3のマークが付いた州測地網（GGS）の点の長方形の座標を決定する必要があります（図4.4）。 まず、このポイントが配置されている正方形の南側の横座標（つまり6065）を（キロメートル単位で）書き留めます。 次に、測定コンパスと線形スケールを使用して、垂線の長さを決定します Δх= 550メートル与えられた点からこの線までの思春期。 結果の値（この場合は550 m）は、線の横軸に追加されます。 番号6065550は横座標です バツ
ポイントGGS。
GGSポイントの縦座標は、同じ正方形（4307 km）の西側の縦座標に等しく、垂線の長さに追加されます Δу=地図上で測定された250m。 番号4307250は同じポイントの縦座標です。
測定コンパスがない場合、距離は定規または短冊で測定されます。.
バツ = 6065550, で= 4307250
米。 4.4。 線形スケールを使用した長方形座標の決定
4.4。 コーディネータを使用した長方形の座標の決定
コーディネーター
-2つの垂直な辺を持つ小さな正方形。 縮尺は定規の内側の端に沿ってマークされ、その長さは指定された縮尺のマップの座標セルの辺の長さに等しくなります。 座標メーターの目盛りは、マップの線形スケールから転送されます。
水平スケールは（ポイントが配置されている）正方形の一番下の線に揃えられ、垂直スケールはこのポイントを通過する必要があります。 目盛りは、ポイントからキロメートルの線までの距離を決定します。
x A = 6135 350 y A = 5577 710
米。 4.5。 コーディノメーターを使用したデカルト座標の決定
4.5。 与えられた長方形の座標による地図上の点の適用
指定された長方形の座標でマップ上にポイントをプロットするには、次の手順に従います。座標レコードで、長方形のグリッドの線を省略した2桁の数字が見つかります。 最初の数字によると、水平方向のグリッド線がマップ上にあり、2番目の数字によると垂直方向のグリッド線が見つかります。 それらの交点は、目的のポイントが存在する正方形の南西の角を形成します。 正方形の東側と西側では、2つの等しいセグメントが南側から配置されており、地図の縮尺で横軸のメートル数に対応しています。 バツ 。 セグメントの端は直線で結ばれ、その上に、正方形の西側から、縦座標のメートル数に対応するセグメントが地図の縮尺に配置されます。 このセグメントの終わりが目的のポイントです。
4.6。 地理座標からの平らな長方形のガウス座標の計算
平面ガウスデカルト座標 バツ
と で
地理座標に関連付けるのは非常に難しい φ
（緯度）と λ
（経度）地球の表面上のポイント。 ある時点を想定します A地理座標があります φ
と λ
.
ゾーンの境界経絡の経度の差はそれぞれ6°であるため、各ゾーンについて、極端な経絡の経度を取得することができます：第1ゾーン（0°-6°）、第2ゾーン（6°-12°）、3番目のゾーン（12°-18°）など。 したがって、ポイントの地理的経度に応じて Aこのポイントが配置されているゾーンの番号を判別できます。 経度が λ
ゾーンの軸子午線のosは、次の式で決定されます。
λ
os
= （6°n-3°）、
ここで n-ゾーン番号。
平面長方形座標を定義するには バツ と で 地理座標による φ と λ Krasovskyの準拠楕円体から導出された式を使用します（準拠楕円体は、特定の状態または状態のグループが配置されているその部分の地球の図に可能な限り近い図です）。
バツ = 6367558,4969 (φ
嬉しい
）−（a 0
−l 2 N）sinφ
cosφ
(4.1)
で（l）= lNcosφ
(4.2)
式（4.1）および（4.2）は、次の表記法を使用します。
y（l） - ポイントからゾーンの軸子午線までの距離。
l= (λ - λ
os
) - 決定されたポイントの経度とゾーンの軸子午線の差。
φ
嬉しい
-ラジアン測度で表されるポイントの緯度。
N = 6399698,902 -
cos 2φ;
a 0
= 32140,404 -
cos 2
φ;
a 3
= (0,3333333 + 0,001123
cos 2
φ)
cos 2φ-0.1666667;
a 4
= (0,25 + 0,00252
cos 2φ)
cos 2φ-0.04166;
a 5
= 0,0083 -
cos 2φ;
a 6
\ u003d（0.166cos2φ-0.084）cos2φ。
y "-500kmの西を基準とした軸子午線からの距離。
式（4.1）によると、座標の値 y（l）ゾーンの軸子午線を基準にして取得されます。 ゾーンの東部のプラス記号またはゾーンの西部のマイナス記号で取得できます。 座標を記録するには yゾーン座標系では、ゾーンの軸子午線から西に500kmの地点までの距離を計算する必要があります。 （で"テーブルで )
、取得した値の前にゾーン番号を割り当てます。 たとえば、値が与えられた
y（l）=ゾーン47で-303678.774m。
それで
で= 47（500000.000-303678.774）= 47196321.226 m
計算にはスプレッドシートを使用します。 MicrosoftXL
.
例。 地理座標を持つポイントの長方形座標を計算します。
φ\u003d47º02 "15.0543" N; λ=65º01 "38.2456" E
テーブルへ MicrosoftXL 初期データと式を入力します（表4.1）。
表4.1。
D |
E |
F |
||||
パラメータ |
コンピューティング |
雹 |
||||
φ（度） |
D2 + E2 / 60 + F2 / 3600 |
|||||
φ（rad） |
ラジアン（C3） |
|||||
Cos2φ |
||||||
ゾーン番号 |
INTEGER（（D8 + 6）/ 6） |
|||||
λos（度） |
||||||
l（度） |
D11 + E11 / 60 + F11 / 3600 |
|||||
l（rad） |
ラジアン（C12） |
|||||
6399698,902-((21562,267- |
||||||
a 0 |
32140,404-((135,3302- |
|||||
a 4 |
=（0.25 + 0.00252 * C6 ^ 2）* C6 ^ 2-0.04166 |
|||||
a 6 |
=（0.166 * C6 ^ 2-0.084）* C6 ^ 2 |
|||||
a 3 |
=（0.3333333 + 0.001123 * C6 ^ 2）* C6 ^ 2-0.1666667 |
|||||
a 5 |
0.0083-（（0.1667-（0.1968 + 0.004 * C6 ^ 2）* C6 ^ 2））* C6 ^ 2 |
|||||
6367558.4969 * C4-（（（C15-（（（0.5+（C16 + C17 * C20）* C20）） * C20 * C14）））* C5 * C6） |
||||||
=（（1+（C18 + C19 * C20）* C20））* C13 * C14 * C6 |
||||||
ROUND（（500000 + C23）; 3） |
||||||
連結（C9; C24） |
計算後のテーブルの表示（表4.2）。
表4.2。
パラメータ |
コンピューティング |
雹 |
||||
φ（度、分、秒） |
||||||
φ（度） |
||||||
φ（ラジアン） |
||||||
Cos2φ |
||||||
λ（度、分、秒） |
||||||
ゾーン番号 |
||||||
λos（度） |
||||||
l（分、秒） |
||||||
l（度） |
||||||
l（ラジアン） |
||||||
a 0 |
||||||
a 4 |
||||||
a 6 |
||||||
a 3 |
||||||
a 5 |
||||||
4.7。 平らな長方形のガウス座標からの地理座標の計算
この問題を解決するために、Krasovsky準拠楕円体に対して取得された再計算式も使用されます。
地理座標を計算する必要があるとします φ
と λ
ポイント Aその平らな長方形の座標によって バツと でゾーン座標系で与えられます。 この場合、座標の値 でゾーン番号を示し、ゾーンの軸子午線の西への500kmのシフトを考慮して記録されます。
値による事前 で決定されたポイントが配置されているゾーンの番号を見つけ、ゾーン番号によって経度を決定します λ
o軸子午線と、ポイントから西向きの軸子午線までの距離が距離を求めます y（l）ポイントからゾーンの軸子午線まで（後者はプラスまたはマイナス記号を付けることができます）。
地理座標値 φ
と λ
平面の長方形座標 バツと で次の式で求められます。
φ = φ バツ
-z 2 b 2
p ''（4.3）
λ = λ 0
+ l（4.4）
l =zρ ''（4.5）
式（4.3）および（4.5）の場合：
φx″ =β″ +（50221746 +cos2β）10-10sinβcosβρ″;
β″ =（X / 6367558.4969）ρ″; ρ″ = 206264.8062″ -1ラジアンの秒数
z = Y（L）/（Nxcosφx）;
N x \u003d6399698.902-cos2φx;
b 2 \ u003d（0.5 +0.003369cos2φx）sinφxcosφx;
b 3 \ u003d 0.333333-（0.166667-0.001123cos2φx）cos2φx;
b 4 \ u003d 0.25 +（0.16161 + 0.00562cos2φx）cos2φx;
b 5 \ u003d 0.2-（0.1667-0.0088cos2φx）cos2φx。
計算にはスプレッドシートを使用します。 MicrosoftXL
.
例。 長方形からポイントの地理座標を計算します。
x = 5213504.619; y = 11654079.966。
テーブルへ MicrosoftXL 初期データと式を入力します（表4.3）。
表4.3。
|
計算後のテーブルの表示（表4.4）。
表4.4。
パラメータ |
計算 |
卒業生。 |
||||
ゾーン番号* |
||||||
ゾーン番号 |
||||||
λoos（度） |
||||||
で" |
||||||
βラド |
||||||
Cos2β |
||||||
φ バツ " |
||||||
φ バツ 嬉しい |
||||||
φ バツ |
||||||
Cosφ バツ |
||||||
Cos2φ バツ |
||||||
N バツ |
||||||
Ν バツ Cosφ バツ |
||||||
z 2 |
||||||
b 4 |
||||||
b 2 |
||||||
b 3 |
||||||
b 5 |
||||||
φ |
||||||
l 0 |
||||||
λ |
計算が正しく行われた場合は、両方のテーブルを1つのシートにコピーし、中間計算の行と列番号p / pを非表示にして、初期データと計算結果を入力するための行だけを残します。 テーブルをフォーマットし、必要に応じて列と列の名前を調整します。
ワークシートは次のようになります表4.5。
ノート.
1.必要な精度に応じて、ビット深度を増減できます。
2.計算を組み合わせることにより、テーブルの行数を減らすことができます。 たとえば、角度のラジアンを個別に計算するのではなく、すぐに式= SIN（RADIANS（C3））に書き込みます。
3.表の段落23の丸め。 4.1。 「クラッチ」用に製作しております。 3を丸める桁数。
4.「Grad」列と「Min」列のセルの形式を変更しない場合、数字の前にゼロはありません。 ここでの形式の変更は、（作成者の決定による）視覚的な認識のためにのみ行われ、計算結果には影響しません。
5.誤って数式を損傷しないように、テーブルを保護する必要があります：ツール/保護シート。 保護する前に、初期データを入力するセルを選択してから、次のようにします。セルのフォーマット/保護/保護されたセル-チェックを外します。
4.8。 平面の長方形と極座標系の関係
極座標系の単純さと、極と見なされる地形内の任意のポイントに対して極座標系を構築する可能性により、地形で広く使用されるようになりました。 地形の個々のポイントの極システムをリンクするには、直交座標系での後者の位置の決定に進む必要があります。これは、はるかに広い領域に拡張できます。 2つのシステム間の接続は、直接および逆の測地問題を解決することによって確立されます。
直接測地問題
終点の座標を決定することで構成されます V
（図4.4） 行 ABその長さに沿って G 水平d
、 方向α
開始点の座標 バツA
,
でA
.
米。 4.6。 直接および逆の測地問題の解決
だから、私たちがポイントを取るならば A（図4.4）極座標系の極と直線 AB-軸に平行な極軸の場合 ああ、次に点の極座標 V意思 dと α 。 システム内のこの点の長方形の座標を計算する必要があります どうやって。
図から 3.4はそれを示しています バツV とは異なり バツA 値によって（ バツV - バツA ) = Δ バツAB 、 でV とは異なり でA 値によって（ でV - でA ) = Δ でAB 。 決勝の座標の違い Vとプライマリ A線の点 AB Δ バツおよびΔ でと呼ばれる 座標の増分 。 座標の増分は、線の正射影です AB座標軸上。 コーディネート バツV と でV 次の式を使用して計算できます。
バツV
= バツA
+ Δ バツAB
(4.1)
でV
= でA
+ Δ でAB
(4.2)
Δ バツAB
=dcos α
(4.3)
Δ でAB
= d罪 α
(4.4)
座標の増分の符号は、位置の角度によって異なります。
表4.1。
増分値Δを代入する バツAB およびΔ でAB 式（3.1および3.2）に、直接測地線問題を解くための式を取得します。
バツV
= バツA
+ dcos α
(4.5)
でV
= でA
+ d罪 α
(4.6)
逆測地線問題 水平スパンの長さを決定することですdそして、その始点A（xA、yA）と終点B（xB、yB）の与えられた座標に従った線ABの方向α。方向角は直角三角形の脚から計算されます。
tgα = 
(4.7)
水平方向の間隔 d、式によって決定されます：
d = 
(4.8)
直接および逆の地理的問題を解決するには、スプレッドシートを使用できます マイクロソフト 優れている .
例.
与えられたポイント A座標付き： バツA
= 6068318,25; でA
= 4313450.37。 水平方向の間隔 （d）ポイント間 Aとドット V 5248.36mに等しい。軸の北方向間の角度 ああとポイントへの方向 V（位置角- α
）は30ºに等しい。
生データと数式をスプレッドシートに入力する マイクロソフトエクセル （表4.2）。
表4.2。
初期データ |
||
バツA |
||
でA |
||
コンピューティング |
||
Δ バツAB =dcosα |
B4 * COS（RADIANS（B5）） |
|
Δ でAB = dsinα |
B4 * SIN（RADIANS（B5）） |
|
バツV |
||
でV |
||
表4.3。
初期データ |
||
バツA |
||
でA |
||
コンピューティング |
||
Δ バツAB =dcosα |
||
Δ でAB = dsinα |
||
バツV |
||
でV |
||
例.
ポイントが付与されます Aと V座標付き：
バツA
= 6068318,25; でA
= 4313450,37;
バツV
= 6072863,46; でV
= 4313450,37.
水平距離を計算する dポイント間 Aとドット V、そしてまた角度 α
北軸間 ああとポイントへの方向 V.
生データと数式をスプレッドシートに入力する マイクロソフトエクセル
（表4.4）。
表4.4。
初期データ |
||
バツA |
||
でA |
||
バツV |
||
でV |
||
コンピューティング |
||
ΔхAB |
||
ΔуAB |
||
ROOT（B7 ^ 2 + B8 ^ 2） |
||
正接 |
||
アークタンジェント |
||
度 |
度（B11） |
|
選択 |
IF（B12<0;B12+180;B12) |
|
位置角（度） |
IF（B8<0;B13+180;B13) |
|
表4.5。
初期データ |
||
バツA |
||
でA |
||
バツV |
||
でV |
||
コンピューティング |
||
ΔхAB |
||
ΔуAB |
||
正接 |
||
アークタンジェント |
||
度 |
||
選択 |
||
位置角（度） |
||
計算がチュートリアルの計算と一致する場合は、中間計算を非表示にし、スプレッドシートをフォーマットして保護します。
ビデオ
長方形の座標
自制心のための質問とタスク
- 長方形座標と呼ばれる量は何ですか？
- 長方形の座標はどの表面で使用されますか？
- 長方形座標のゾーンシステムの本質は何ですか？
- ルガンスク市が座標で配置されている6度のゾーンの数はいくつですか：48°35'N.L。 39°20'E
- ルガンスク市が位置する6度ゾーンの軸子午線の経度を計算します。
- ガウス直交座標系でx座標とy座標はどのようにカウントされますか？
- 測定コンパスを使用して地形図上の長方形の座標を決定する手順を説明します。
- 座標計を使用して地形図上の長方形の座標を決定する手順を説明します。
- 直接測地問題の本質は何ですか？
- 逆測地線問題の本質は何ですか？
- 座標の増分は何ですか？
- 角度の正弦、余弦、接線、余接を定義します。
- 直角三角形の辺の関係に関するピタゴラスの定理を地形にどのように適用できますか？
ゼロ点にいて、まっすぐ進み、次にまっすぐ右に進んで他の点に到達するために必要な距離の単位を考えている場合は、平面上ですでに直交デカルト座標系を使用しています。 また、ポイントが立っている平面の上にあり、階段に沿ったポイントへの上昇が一定の距離単位で厳密に上向きになっている場合は、すでに直交デカルト座標系を使用しています。宇宙で。
共通の原点（原点）と共通の長さの単位を持つ、互いに垂直な2つまたは3つの交差する軸の順序付けられたシステムは次のように呼ばれます。 直交デカルト座標系 .
フランスの数学者ルネ・デカルト（1596-1662）の名前は、主に、長さの共通の単位がすべての軸で測定され、軸が直線であるような座標系に関連付けられています。 長方形に加えて、 一般的なデカルト座標系 (アフィン座標系）。 また、必ずしも垂直軸が含まれるとは限りません。 軸が垂直の場合、座標系は長方形です。
平面上の直交デカルト座標系 2つの軸があります 空間内の直交デカルト座標系 -3軸。 平面上または空間内の各ポイントは、順序付けられた座標のセット（座標系の単位長に応じた数値）によって決定されます。
定義から次のように、直線上、つまり1次元にデカルト座標系があることに注意してください。 直線上のデカルト座標の導入は、直線上の任意の点に明確に定義された実数、つまり座標を割り当てる方法の1つです。
ルネ・デカルトの作品で生まれた調整の方法は、すべての数学の革命的な再構築を示しました。 代数方程式（または不等式）を幾何学的画像（グラフ）の形で解釈し、逆に、分析式、連立方程式を使用して幾何学的問題の解決策を探すことが可能になりました。 はい、不平等 z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyこの平面の上に3ユニット配置されています。
デカルト座標系の助けを借りて、与えられた曲線への点の帰属は、数字が バツと yいくつかの方程式を満たします。 したがって、特定の点を中心とする円の点の座標（ a; b）方程式を満たす (バツ - a)² + ( y - b)² = R² .
平面上の直交デカルト座標系
原点が共通でスケール単位が同じ平面上の2つの垂直軸 平面上のデカルト座標系 。 これらの軸の1つは軸と呼ばれます 牛、 また x軸 、その他-軸 オイ、 また y軸 。 これらの軸は、座標軸とも呼ばれます。 で表す Mバツと Myそれぞれ任意の点の射影 M車軸上 牛と オイ。 予測を取得する方法は？ ドットを通過する M 牛。 この線は軸と交差します 牛その時点で Mバツ。 ドットを通過する M軸に垂直な直線 オイ。 この線は軸と交差します オイその時点で My。 これを下の図に示します。
バツと yポイント Mそれぞれ、有向セグメントの大きさを呼び出します OMバツと OMy。 これらの方向セグメントの値は、それぞれ次のように計算されます バツ = バツ0 - 0 と y = y0 - 0 。 デカルト座標 バツと yポイント M 横座標 と 縦座標 。 ドットという事実 M座標があります バツと y、は次のように表されます。 M(バツ, y) .
座標軸は平面を4つに分割します 四分円 、その番号は下の図に示されています。 また、1つの象限または別の象限での位置に応じて、ポイントの座標の記号の配置を示します。
平面内のデカルト長方形座標に加えて、極座標系もよく考慮されます。 ある座標系から別の座標系への移行方法について-レッスンで 極座標系 .
空間内の直交デカルト座標系
空間のデカルト座標は、平面のデカルト座標と完全に類似して導入されます。
共通の原点を持つ空間内の3つの相互に垂直な軸（座標軸） Oと同じスケール単位形式 空間内のデカルト直交座標系 .
これらの軸の1つは軸と呼ばれます 牛、 また x軸 、その他-軸 オイ、 また y軸 、第3軸 オズ、 また 適用軸 。 させて Mバツ, My Mz-任意の点の投影 M軸上のスペース 牛 , オイと オズそれぞれ。
ドットを通過する M 牛牛その時点で Mバツ。 ドットを通過する M軸に垂直な平面 オイ。 この平面は軸と交差します オイその時点で My。 ドットを通過する M軸に垂直な平面 オズ。 この平面は軸と交差します オズその時点で Mz.
デカルト長方形座標 バツ , yと zポイント Mそれぞれ、有向セグメントの大きさを呼び出します OMバツ, OMyと OMz。 これらの方向セグメントの値は、それぞれ次のように計算されます バツ = バツ0 - 0 , y = y0 - 0 と z = z0 - 0 .
デカルト座標 バツ , yと zポイント Mそれに応じて名前が付けられます 横座標 , 縦座標 と アップリケ .
ペアで取得すると、座標軸は座標平面に配置されます xOy , yOzと zOx .
デカルト座標系の点に関する問題
例1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
x軸上のこれらの点の射影の座標を見つけます。
解決。 このレッスンの理論的な部分からわかるように、x軸への点の射影は、x軸自体、つまり軸上に配置されます。 牛、したがって、点自体の横座標に等しい横座標と、縦座標（軸上の座標）があります。 オイ、x軸は点0）で交差し、ゼロに等しくなります。 したがって、x軸上のこれらの点の次の座標を取得します。
Ax（2; 0）;
Bx（3; 0）;
Cx（-5; 0）.
例2ポイントは、平面上のデカルト座標系で与えられます
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
y軸上のこれらの点の射影の座標を見つけます。
解決。 このレッスンの理論的な部分からわかるように、y軸への点の射影は、y軸自体、つまり軸上に配置されます。 オイ、したがって、ポイント自体の縦座標に等しい縦座標と横座標（軸上の座標）を持ちます 牛、y軸は点0）で交差し、ゼロに等しくなります。 したがって、y軸上のこれらの点の次の座標を取得します。
Ay（0; 2）;
By（0; 1）;
Cy（0; -2）.
例3ポイントは、平面上のデカルト座標系で与えられます
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
牛 .
牛 牛 牛、は、指定されたポイントと同じ横座標を持ち、縦座標は絶対値が指定されたポイントの縦座標と等しく、符号が反対になります。 したがって、軸を中心にこれらの点に対称な点の次の座標を取得します 牛 :
A」(2; -3) ;
B」(-3; -2) ;
C」(-1; 1) .
例4どの象限（四分円、象限のある図-「平面上の直交デカルト座標系」の段落の最後）に点を配置できるかを決定します。 M(バツ; y) 、 もしも
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) バツ − y = 0 ;
4) バツ + y = 0 ;
5) バツ + y > 0 ;
6) バツ + y < 0 ;
7) バツ − y > 0 ;
8) バツ − y < 0 .
例5ポイントは、平面上のデカルト座標系で与えられます
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
軸に関してこれらの点に対称な点の座標を見つけます オイ .
私たちは一緒に問題を解決し続けます
例6ポイントは、平面上のデカルト座標系で与えられます
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
軸に関してこれらの点に対称な点の座標を見つけます オイ .
解決。 軸を中心に180度回転します オイ軸からの有向線分 オイこの時点まで。 平面の象限が示されている図では、軸に関して指定された点に対して対称な点が示されています。 オイ、は、指定されたポイントと同じ縦座標を持ち、絶対値が指定されたポイントの横座標と等しく、符号が反対の横座標を持ちます。 したがって、軸を中心にこれらの点に対称な点の次の座標を取得します オイ :
A」(1; 2) ;
B」(-3; -1) ;
C」(2; -2) .
例7ポイントは、平面上のデカルト座標系で与えられます
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
原点に関してこれらの点に対して対称な点の座標を見つけます。
解決。 原点から指定されたポイントに向かって、有向セグメントの原点を中心に180度回転します。 平面の象限が示されている図では、座標の原点に関して特定の点に対称な点の横座標と縦座標が、指定された点の横座標と縦座標に絶対値で等しいことがわかります。 、しかしそれらとは反対のサイン。 したがって、原点に関してこれらの点に対称な点の次の座標を取得します。
A」(-3; -3) ;
B」(-2; 4) ;
C(2; -1) .
例8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
これらの点の射影の座標を見つけます。
1）飛行機の上 オキシ ;
2）飛行機へ Oxz ;
3）飛行機へ オイズ ;
4）横軸上。
5）y軸上。
6）アップリケ軸上。
1）平面への点の射影 オキシこの平面自体に配置されているため、横座標と縦座標は指定された点の横座標と縦座標に等しく、アプリケーションはゼロに等しくなります。 したがって、これらの点の射影の次の座標を取得します オキシ :
Axy（4; 3; 0）;
Bxy（-3; 2; 0）;
Cxy（2; -3; 0）.
2）平面への点の射影 Oxzこの平面自体に配置されているため、横座標と適用範囲は指定された点の横座標と適用範囲に等しく、縦座標はゼロに等しくなります。 したがって、これらの点の射影の次の座標を取得します Oxz :
Axz（4; 0; 5）;
Bxz（-3; 0; 1）;
Cxz（2; 0; 0）.
3）平面への点の射影 オイズはこの平面自体に配置されているため、特定の点の縦座標と座標に等しい縦座標と適用範囲、およびゼロに等しい横座標を持ちます。 したがって、これらの点の射影の次の座標を取得します オイズ :
Ayz（0; 3; 5）;
Byz（0; 2; 1）;
Cyz（0; -3; 0）.
4）このレッスンの理論的な部分からわかるように、x軸への点の射影は、x軸自体、つまり軸上に配置されます。 牛、したがって、横座標は点自体の横座標に等しく、射影の縦座標と適用はゼロに等しくなります（縦軸と適用軸は点0で横座標と交差するため）。 x軸上のこれらの点の射影の次の座標を取得します。
Ax（4; 0; 0）;
Bx（-3; 0; 0）;
Cx（2; 0; 0）.
5）y軸上の点の投影は、y軸自体、つまり軸上にあります。 オイ、したがって、縦座標は点自体の縦座標に等しく、横座標と射影の適用はゼロに等しくなります（横軸と適用軸は点0で縦軸と交差するため）。 y軸上のこれらの点の射影の次の座標を取得します。
Ay（0; 3; 0）;
By（0; 2; 0）;
Cy（0; -3; 0）.
6）適用軸上の点の投影は、適用軸自体、つまり軸上に配置されます。 オズ、したがって、点自体の適用範囲に等しい適用範囲があり、射影の横軸と縦座標はゼロに等しくなります（横軸と縦軸は点0で適用軸と交差するため）。 適用軸上のこれらの点の射影の次の座標を取得します。
Az（0; 0; 5）;
Bz（0; 0; 1）;
Cz（0; 0; 0）.
例9ポイントは、空間のデカルト座標系で与えられます
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
以下に関して、これらの点に対して対称な点の座標を見つけます。
1）飛行機 オキシ ;
2）飛行機 Oxz ;
3）平面 オイズ ;
4）横軸;
5）y軸;
6）アップリケ軸;
7）座標の原点。
1）軸の反対側の点を「前進」させる オキシ オキシ、は、指定されたポイントの横座標と縦座標に等しい横座標と縦座標を持ち、指定されたポイントの適用範囲と大きさが等しいが、符号が反対の適用範囲を持ちます。 したがって、平面に関してデータに対称な点の次の座標を取得します オキシ :
A」(2; 3; -1) ;
B」(5; -3; -2) ;
C」(-3; 2; 1) .
2）軸の反対側の点を「前進」させる Oxz同じ距離で。 座標空間を表示している図によると、軸に対して与えられた点に対して対称な点がわかります Oxz、は、指定された点の横座標と適用範囲に等しい横座標と適用範囲を持ち、指定された点の縦座標と大きさが等しいが、符号が反対の縦座標を持ちます。 したがって、平面に関してデータに対称な点の次の座標を取得します Oxz :
A」(2; -3; 1) ;
B」(5; 3; 2) ;
C」(-3; -2; -1) .
3）軸の反対側の点を「前進」させる オイズ同じ距離で。 座標空間を表示している図によると、軸に対して与えられた点に対して対称な点がわかります オイズ、は、指定された点の縦座標と適用範囲に等しい縦座標と適用範囲、および指定された点の横座標と大きさが等しいが、符号が反対の横座標を持ちます。 したがって、平面に関してデータに対称な点の次の座標を取得します オイズ :
A」(-2; 3; 1) ;
B」(-5; -3; 2) ;
C」(3; 2; -1) .
平面上の対称点および平面に関するデータに対して対称な空間内の点との類推により、空間内のデカルト座標系のある軸を中心とした対称性の場合、対称性が設定されている軸上の座標に注意してください。はその符号を保持し、他の2つの軸の座標は、指定されたポイントの座標と絶対値が同じになりますが、符号が反対になります。
4）横軸はその符号を保持し、縦座標とアプリケーションは符号を変更します。 したがって、x軸に関するデータに対称な次の点の座標を取得します。
A」(2; -3; -1) ;
B」(5; 3; -2) ;
C」(-3; -2; 1) .
5）縦座標はその符号を保持し、横軸とアプリは符号を変更します。 したがって、y軸に関するデータに対称な次の点の座標を取得します。
A」(-2; 3; -1) ;
B」(-5; -3; -2) ;
C」(3; 2; 1) .
6）アプリケーションはその符号を保持し、横軸と縦軸は符号を変更します。 したがって、適用軸に関するデータに対称な次の点の座標を取得します。
A」(-2; -3; 1) ;
B」(-5; 3; 2) ;
C」(3; -2; -1) .
7）平面上の点の場合の対称性との類推により、座標の原点に関する対称性の場合、特定の点に対称な点のすべての座標は、絶対値で特定の点の座標に等しくなります。しかし、それらとは反対のサインです。 したがって、原点に関してデータに対して対称な次の点の座標を取得します。
直交座標系-平面上または空間内で相互に垂直な軸を持つ直線座標系。 最も単純で、したがって最も一般的に使用される座標系。 それは非常に簡単にそして直接あらゆる次元の空間に一般化され、それはまたその幅広い応用に貢献します。
関連用語： デカルト通常、軸に沿って同じスケールの直交座標系と呼ばれ（RenéDescartesにちなんで名付けられました）、 一般的なデカルト座標系座標のアフィン「システム」と呼ばれます（長方形ではありません）。
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平面上の直交座標系は、2つの相互に垂直な座標軸と O（\ displaystyle O）、これは座標の原点と呼ばれ、各軸は正の方向を持っています。
ポイント位置 A（\ displaystyle A）平面上は2つの座標によって決定されます x（\ displaystyle x）と y（\ displaystyle y）。 座標 x（\ displaystyle x）セグメントの長さに等しい O B（\ displaystyle OB）、コーディネート y（\ displaystyle y）-セグメントの長さ O C（\ displaystyle OC） O B（\ displaystyle OB）と O C（\ displaystyle OC）ポイントから引かれた線によって定義されます A（\ displaystyle A）軸に平行 Y′Y（\ displaystyle Y "Y）と X′X（\ displaystyle X "X）それぞれ。
この座標で x（\ displaystyle x） B（\ displaystyle B）ビーム上にあります（ビーム上ではありません） OX（\ displaystyle OX）、図のように）。 座標 y（\ displaystyle y）ポイントの場合はマイナス記号が割り当てられます C（\ displaystyle C）ビームにあります。 この上、 O X '（\ displaystyle OX "）と O Y '（\ displaystyle OY "）は座標軸の負の方向です（各座標軸は数値軸として扱われます）。
軸 x（\ displaystyle x） x軸と呼ばれ、軸 y（\ displaystyle y）-y軸。 座標 x（\ displaystyle x）と呼ばれる 横座標 ポイント A（\ displaystyle A）、コーディネート y（\ displaystyle y） - 縦座標 ポイント A（\ displaystyle A）.
A（x、y）（\ displaystyle A（x、\; y）） A =（x、y）（\ displaystyle A =（x、\; y））または、インデックスを使用して特定のポイントへの座標の帰属を示します。
x A、x B（\ displaystyle x_（A）、x_（B））空間の直交座標系（この段落では、3次元空間、より多くの多次元空間を意味します-以下を参照）は、3つの相互に垂直な座標軸によって形成されます OX（\ displaystyle OX）, O Y（\ displaystyle OY）と OZ（\ displaystyle OZ）。 座標軸は点で交差します O（\ displaystyle O）原点と呼ばれる、各軸上で矢印で示された正の方向が選択され、軸上のセグメントの測定単位が選択されます。 単位は通常（必ずしも）すべての軸で同じです。 OX（\ displaystyle OX）-軸横座標、 O Y（\ displaystyle OY）-軸縦座標、 OZ（\ displaystyle OZ）--axisapplicate。
ポイント位置 A（\ displaystyle A）空間内は3つの座標によって決定されます x（\ displaystyle x）, y（\ displaystyle y）と z（\ displaystyle z）。 座標 x（\ displaystyle x）セグメントの長さに等しい O B（\ displaystyle OB）、コーディネート y（\ displaystyle y）-セグメントの長さ O C（\ displaystyle OC）、コーディネート z（\ displaystyle z）-セグメントの長さ OD（\ displaystyle OD）選択した測定単位で。 セグメント O B（\ displaystyle OB）, O C（\ displaystyle OC）と OD（\ displaystyle OD）点から描かれた平面によって定義されます A（\ displaystyle A）平面に平行 Y O Z（\ displaystyle YOZ）, X O Z（\ displaystyle XOZ）と X O Y（\ displaystyle XOY）それぞれ。
座標 x（\ displaystyle x）ポイントの横座標と呼ばれる A（\ displaystyle A）、コーディネート y（\ displaystyle y）-縦軸 A（\ displaystyle A）、コーディネート z（\ displaystyle z）-適用ポイント A（\ displaystyle A）.
象徴的にそれはこのように書かれています：
A（x、y、z）（\ displaystyle A（x、\; y、\; z）） A =（x、y、z）（\ displaystyle A =（x、\; y、\; z））または、インデックスを使用して座標レコードを特定のポイントにバインドします。
x A、y A、z A（\ displaystyle x_（A）、\; y_（A）、\; z_（A））各軸は数直線と見なされます。つまり、正の方向があり、負の座標値\ u200b \ u200bareが負の光線上にあるポイントに割り当てられます（距離はマイナス記号で示されます）。 つまり、たとえば、ポイント B（\ displaystyle B）図のように横たわっていない-梁の上に OX（\ displaystyle OX）、およびポイントから反対方向への継続 O（\ displaystyle O）（軸の負の部分 OX（\ displaystyle OX））、次に横軸 x（\ displaystyle x）ポイント A（\ displaystyle A）負になります（距離を引いたもの） O B（\ displaystyle OB））。 他の2つの軸についても同様です。
3次元空間のすべての長方形座標系は2つのクラスに分けられます- 権利（用語も使用されます ポジティブ, 標準） と 左。 通常、デフォルトでは、右手系の座標系を使用しようとします。グラフィカルに表示される場合は、可能であれば、いくつかの通常の（従来の）位置の1つにも配置します。 （図2は右手系を示しています）。 対応する軸（およびそれらの方向）が一致するように、右座標系と左座標系を回転で組み合わせることができません。 右手の法則、ねじの法則などを使用して、特定の座標系がどのクラスに属するかを判別できます（軸の正の方向は、軸が回転したときに軸が回転するように選択されます）。 OX（\ displaystyle OX）反時計回りに90°その正の方向は軸の正の方向と一致しました O Y（\ displaystyle OY）、この回転を軸の正の方向の側から観察した場合 OZ（\ displaystyle OZ）).
多次元空間における直交座標系
直交座標系は、3次元空間の場合と同じように、任意の「有限」次元の空間で使用することもできます。 この場合の座標軸の数は、スペースの寸法と同じです（このセクションではそれを示します） n).
座標は通常、異なる文字ではなく、数値インデックス付きの同じ文字で示されます。 ほとんどの場合、次のようになります。
x 1、x 2、x 3、…xn。 （\ displaystyle x_（1）、x_（2）、x_（3）、\ dots x_（n））任意を指定するには 私このセットのth座標は、文字インデックスを使用します。
そしてしばしば指定 x i、（\ displaystyle x_（i）、）とを使用してセット全体を示します。これは、インデックスが値のセット全体を通過することを意味します。 i = 1、2、3、…n（\ displaystyle i = 1,2,3、\ dots n）.
空間のどの次元でも、長方形の座標系は、右と左（または正と負）の2つのクラスに分けられます。 多次元空間の場合、座標系の1つは任意に（条件付きで）右と呼ばれ、残りは同じ方向であるかどうかに応じて右または左になります。
長方形のベクトル座標
長方形を定義するには ベクトル座標（任意の次元のベクトルを表すために適用可能）、開始が原点にあるベクトル（有向セグメント）の座標がその終了の座標と一致するという事実から進めることができます。
原点が原点と一致しないベクトル（有向セグメント）の場合、長方形の座標は次の2つの方法のいずれかで決定できます。
- ベクトルは、その原点が原点と一致するように移動できます）。 次に、その座標は、段落の冒頭で説明した方法で決定されます。原点が原点と一致するように移動されたベクトルの座標は、その終点の座標です。
- 代わりに、ベクトルの終わりの座標（有向セグメント）からその始まりの座標を単純に差し引くことができます。
- 長方形の座標の場合、ベクトル座標の概念は、対応する座標軸の方向へのベクトルの正射影の概念と一致します。
長方形の座標では、ベクトルに対するすべての操作は非常に簡単に記述されます。
- スカラーによる加算と乗算：
（これはどのディメンションにも当てはまります nさらに、長方形の座標とともに、斜めの座標の場合）。
a⋅b= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 +⋯+ anbn（\ displaystyle \ mathbf（a）\ cdot \ mathbf（b）= a_（1）b_（1）+ a_（2 ）b_（2）+ a_（3）b_（3）+ \ dots + a_（n）b_（n）） a⋅b= ∑ i = 1 n a i b i、（\ displaystyle \ mathbf（a）\ cdot \ mathbf（b）= \ sum \ Limits _（i = 1）^（n）a_（i）b_（i）、）（すべての軸に単位スケールがある長方形の座標でのみ）。
- スカラー積を使用して、ベクトルの長さを計算できます
- と k（\ displaystyle \ mathbf（k））
e x（\ displaystyle \ mathbf（e）_（x））, e y（\ displaystyle \ mathbf（e）_（y））と e z（\ displaystyle \ mathbf（e）_（z））.
矢印記号（ i→（\ displaystyle（\ vec（i）））, j→（\ displaystyle（\ vec（j）））と k→（\ displaystyle（\ vec（k）））また e→x（\ displaystyle（\ vec（e））_（x））, e→y（\ displaystyle（\ vec（e））_（y））と e→z（\ displaystyle（\ vec（e））_（z）））または他の文献のベクトルを指定する通常の方法に従って。
この場合、右手系の場合、ベクトルのベクトル積を使用した次の式が有効です。
3より大きい次元の場合（または次元が任意である可能性がある一般的な場合）、単位ベクトルは代わりに数値インデックスを使用した表記を使用するのが一般的です。
e 1、e 2、e 3、…en、（\ displaystyle \ mathbf（e）_（1）、\ mathbf（e）_（2）、\ mathbf（e）_（3）、\ dots \ mathbf（ e）_（n）、）どこ n-空間の次元。
任意の次元のベクトルは、基底に従って分解されます（座標は展開係数として機能します）。
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 +⋯+ anen（\ displaystyle \ mathbf（a）= a_（1）\ mathbf（e）_（1）+ a_（2）\ mathbf（ e）_（2）+ a_（3）\ mathbf（e）_（3）+ \ dots + a_（n）\ mathbf（e）_（n）） a = ∑ i = 1 n a i e i、（\ displaystyle \ mathbf（a）= \ sum \ Limits _（i = 1）^（n）a_（i）\ mathbf（e）_（i）、）ピエール・フェルマーは、しかし、彼の作品は彼の死後に最初に出版されました。 デカルトとフェルマーは、平面上でのみ座標法を使用しました。3次元空間の座標法は、18世紀にすでにレオンハルトオイラーによって最初に適用されました。 ortsの使用は明らかにに戻ります
決定するため測地学のポイント位置は、空間的な長方形、測地学的、および平面の長方形の座標を使用します。
空間的な長方形の座標。 座標系の原点は中央にあります O 地球楕円体（図2.2）。
軸 Z指示北への楕円体の回転軸に沿って。 軸 バツ赤道面と最初のグリニッジ子午線の交点にあります。 軸 Y軸に垂直に向けられた Zと バツ東へ。
ジオデティック座標。 ポイントの地理的座標は、その緯度、経度、および高さです（図2.2）。
測地緯度 ポイント M角度と呼ばれる V、与えられた点を通過する楕円体の表面の法線と赤道の平面によって形成されます。
緯度は赤道から南北に0°から90°まで測定され、北または南と呼ばれます。 北緯は正、南緯は負と見なされます。
軸を通過する楕円体の断面 オズ、と呼ばれる 測地子午線.
測地経度 ポイント M二面角と呼ばれる L、最初の（グリニッジ）測地線子午線と指定された点の測地線子午線の平面によって形成されます。
経度は、東経0°から360°、または東経0°から180°（正）および西経0°から180°（負）の範囲内の本初子午線から測定されます。
測地高さポイント M彼女の身長は H地球楕円体の表面の上。
空間的な長方形の座標を持つ測地座標は、次の式によって関連付けられます
X =(N + H）cos B cos L,
Y =(N + H）cos B罪 L,
Z =[(1--e 2)N + H]罪 B,
どこ e子午線楕円の最初の離心率であり、 N-最初の垂直線の曲率半径。 N = a /(1 - e 2罪2 B) 1/2 .
測地および空間ポイントの長方形の座標は、衛星測定を使用して、また測地測定と既知の座標を持つポイントにリンクすることによって決定されます。
と一緒に注意してください測地線では、天文学的な緯度と経度もあります。 天文緯度 jは、赤道面との特定の点での下げ振り線がなす角度です。 天文経度 lは、グリニッジ子午線の平面と、特定の点で鉛直線を通過する天文子午線との間の角度です。 天球座標は、天文観測から地上で決定されます。
天球座標鉛直線の方向が楕円体の表面の法線の方向と一致しないため、測地線とは異なります。 楕円体の表面の法線の方向と地表の特定の点での下げ振りの線との間の角度は、 下げ振り.
測地座標と天球座標の一般化は用語です- 地理座標.
平面長方形座標。 空間座標と測地座標から測地学をエンジニアリングする問題を解決するために、それらはより単純なフラット座標に切り替えます。これにより、平面上の地形を描写し、2つの座標でポイントの位置を決定できます。 バツと で.
地球の凸面から歪みのない平面上に描くことは不可能です。フラットな座標の導入は、歪みが無視できるほど小さい限られた領域でのみ可能です。 ロシアでは、長方形の座標系が採用されており、その基礎は等角の横円筒形です。 ガウス射影。 楕円体の表面は、ゾーンと呼ばれる部分の平面に描かれています。 ゾーンは、子午線で囲まれ、北極から南極に伸びる球形の双子です（図2.3）。 経度でのゾーンのサイズは6°です。 各ゾーンの中央子午線は、軸子午線と呼ばれます。 ゾーンはグリニッジから東に番号が付けられています。
番号Nのゾーンの軸子午線の経度は次のようになります。
l 0 \ u003d6°×N-3°。
ゾーンと赤道の軸子午線平面上に直線で描かれています（図2.4）。 軸子午線を横軸とします バツ、および赤道-y軸の場合 y。それらの交差点（ポイント O）指定されたゾーンの起点として機能します。
避けるために負の縦座標値の場合、交点座標は次のようになります。 バツ 0 = 0, y 0 = 500 km、これは軸シフトに相当します バツ西に500キロ。
そのため、ポイントの長方形の座標によって、それがどのゾーンにあるかを縦座標に判断することができます y左側には、座標ゾーンの番号が割り当てられています。
たとえば、点の座標を考えてみましょう。 Aのように見える：
x A= 6 276 427 m
y A= 12 428 566 m
これらの座標はどの時点で A西部の赤道から6276427mの距離にあります（ y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
空間長方形の場合、ロシアの測地および平坦な長方形座標では、統一された座標系SK-95が採用され、州の測地ネットワークのポイントによって地上に固定され、1995年の時代の衛星および地上ベースの測定に従って構築されています。
長方形座標のローカルシステム。さまざまなオブジェクトの構築中に、ローカル（条件付き）座標系がよく使用されます。この座標系では、オブジェクトの構築およびその後の操作での使用の利便性に基づいて、軸の方向と座標の原点が割り当てられます。
そう, 撮影時駅の軸 で主要鉄道線路の軸に沿ってピケットの増加方向に向けられ、軸は バツ-旅客駅ビルの軸に沿って。
建設中橋の交差軸 バツ通常、橋の軸、および軸と組み合わされます y垂直方向に進みます。
建設中大規模な産業および民間施設の軸 バツと y建設中の建物の軸に平行に向けられています。
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